1，概率的三个性质1.非负性2.规范性3.可列可加性网站上讲得很清楚2，概率性质证明对于任意的两个事件A,B,他们中至少发生一个的概率等于A发生的概率加上B发生的概率减去AB同时发生的概率证明由于A∪B=A∪(B-AB)且A∩(B-AB)=φ由概率的可加性得P(A∪B)=P[A∪(B-AB)]=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(A
1，概率的三个性质
2，概率性质证明
对于任意的两个事件A,B,他们中至少发生一个的概率等于A发生的概率加上B发生的概率减去AB同时发生的概率 证明 由于A∪B=A∪(B-AB)且A∩(B-AB)=φ 由概率的可加性得 P(A∪B)=P[A∪(B-AB)]=P(A)+P(B-AB) =P(A)+P(B)-P(AB)性质2：a1表示方块a，a2表示梅花a，a3表示红桃a，a4表示黑桃a；p(a1∪。。.∪an)表示抽一次牌，抽中a的概率，可以使方块或梅花或红桃或黑桃，p(a1)表示抽中方块a的概率1/54，其它的一样1/54，所以，后面那条表达式可以表示为抽中a的概率为4/54。这里∪是或的意思； 性质4：事件a表示抽中方块a,事件b表示a，p(b-a)表示抽中a但不是方块a的概率，事件a的概率是1/54，事件b的概率是4/54，所以p(b-a)的概率是3/54； 性质6：p(b-a)表示事件b发生但事件a不发生的概率，要是时间b包含时间a，那就是时间b中除了事件a的其它事件发生的概率。性质6比性质4广泛； 性质7：p(a∪b)表示事件a或事件b发生的概率，性质7比性质2广泛。p(a∩b)表示事件a和事件b里面相同的事件，例如，事件a表示方块3或方块4，发生概率是2/54，事件b表示方块4或方块5，发生概率是2/54，那么p(a∪b)就可以表示抽一张牌抽中方块3或方块4或方块5的概率，a∩b表示方块4，p(a∩b)表示抽一张牌抽中方块4的概率，p(a∩b)=1/54，p(a∪b)=p(a)+p(b)-p(a∩b)=2/54+2/54-1/54=3/54. 3，概率分布的概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布(probability distribution)。为了深入研究随机试验，我们先引入随机变量(random variable)的概念。 作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。【例4.3】对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、“…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的取值为0、1、2、…、100。【例4.4】孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。若用变量x表示试验的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表示“孵出小鸡”。【例4.5】测定某品种猪初生重，表示测定结果的变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5―1.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数。如果表示试验结果的变量x，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x为离散型随机变量(discrete random variable)；如果表示试验结果的变量x，其可能取值为某范围内的任何数值，且x在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称x为连续型随机变量(continuous random variable)。引入随机变量的概念后，对随机试验的概率分布的研究就转为对随机变量概率分布的研究了。 离散型随机变量概率分布要了解离散型随机变量x的统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。如果我们将离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1,2,…)，及其对应的概率pi，记作P(x=xi)=pii=1,2,… (4—3)则称（4—3）式为离散型随机变量x的概率分布或分布。常用分布列(distribution series)来表示离散型随机变量：x1 x2… xn …。p1 p2… pn …显然离散型随机变量的概率分布具有pi≥0和Σpi=1这两个基本性质。 连续型随机变量概率分布连续型随机变量(如体长、体重、蛋重)的概率分布不能用分布列来表示，因为其可能取的值是不可数的。我们改用随机变量x在某个区间内取值的概率P(a≤x<b)来表示。下面通过频率分布密度曲线予以说明。由表2—7作126头基础母羊体重资料的频率分布直方图，见图4—1，图中纵坐标取频率与组距的比值。可以设想，如果样本取得越来越大(n→+∞)，组分得越来越细(i→0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值──概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中点的联线──频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线，换句话说，当n→+∞、i→0时，频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线。对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反映了基础母羊体重的变动规律。这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概率分布密度函数。若记体重概率分布密度函数为f(x)，则x取值于区间[a,b）的概率为图中阴影部分的面积，即 图4-1表2-7资料的分布曲线 (4—4)式为连续型随机变量x在区间[a,b）上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定。此外，连续型随机变量概率分布还具有以下性质：1．分布密度函数总是大于或等于0，即f(x)≥02．当随机变量x取某一特定值时，其概率等于03．在一次试验中随机变量x之取值必在-∞<x<+∞范围内，为一必然事件。4，在数学上什么是概率它的基本特性有哪些
概率，它是反映随机事件出现的可能来性（likelihood)大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的自频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。概率具有以下7个不同的性质：性质1：；性质2：（有限可加性）当n个事件A1,…,An两两互不知相容时： ；性质3：对于任意一个事件A：；性质4：当事件A,B满足A包含于B时：，道性质5：对于任意一个事件A，；性质6：对任意两个事件A和B，；性质7：（加法公式）对任意两个事件A和B，创新是什么？ （一） 如果用数字来表示，创新就是“０＋１”。 “０＋１”，就是从无到有，就是前无古人，就是标新立异，就是实现零的突破。 “０＋１”这个从无到有的过程，不仅需要追清风、洗俗耳，而且需要夺造化、回阳春。这种追夺之气、洗回之行，颇如唐朝史学家刘知几在其《史通·申左》中所说：“夫自我作故，无所准绳”，即由我创始，不因袭古人；又如鲁迅在《二心集·关于翻译的通信》中所言：“天天创新新的字眼，新的名法”，即与时共进，不是停步不前。于是，才有了技术上的日新月异，譬如，意大利人古列尔莫·马尔科尼发明了无线电，美国人亚历山大·格雷厄姆·贝尔又将电话前无古人地奉献了出来，一些年后一种将无线电与电话结合在一起的移动电话又闪亮登场，接着，互联网又把地球上的角角落落“联”在了一个“网”上。这就是创新：“０＋１”。 （二） 创新是什么？如果用数字来表示，创新还是“１＋９９”。 “１＋９９”，就是从有到优，就是更高更好，就是更美更妙，就是摘下同行同类产品的金牌。 “１＋９９”这个从有到优的过程，说明不经过无数次的磨难、无数次的突破、无数次的提升是不可能让产品豁人耳目，让服务沁人心脾，让品牌由粗糙到精细、精美、精妙的。可说，“９９”，就是道道“景阳冈”、只只“吊睛白额虎”。要跨过这道道“冈”，拿下这只只“虎”，只凭勇气不行，还要有足够的智慧。智慧就是创新。创新才能擒“虎”。否则，是过不了这“９９”道“冈”的。古人讲：“百工治器，必几经转换，而后器成。”“几经转换”，就是探索，就是走别人没走过的路，就是百炼成钢。这样的例子，在我们身边并不少见。可以说，凡成名的产品与服务，譬如“海尔”，都是这样。这就是创新：“１＋９９”。 （三） 创新是什么？如果用数字来表示，创新更是“１００＋１”。 “１００＋１”，就是从优到更优，就是超一流，就是全球同类产品与服务的领跑者，就是新的世界纪录的创造者。 “１００＋１”这个从优到更优的过程，更是避熟删虚的过程，更是“吟安一个字，捻断数茎须”的过程，更是“须教自我胸中出，切忌随人脚后行”的过程。因为，核心技术是引不来、换不来、买不来的。这个“１”，就是要靠一股劲、一口气、一种精神，去创造一个具有自主知识产权的发明专利或核心技术。其实，世界上许多的产品与服务都是大同小异的。“小异”就“异”在是否有一点点自己独道、别人不可复制、且不可替代的核心技术上。有了，就能使自己的产品服务更优、更强、更具持续发展力。譬如，上海有一家生产“中华”牌产品的企业，这个产品虽说已有５０多年的历史，但其维护和提升产品的精确度年年有提高，现已达到十万分之一，因而这个产品也一直成为同类产品在全国以至全球的领先者。这就是创新：“１００＋１”。 创新，不论“０＋１”、“１＋９９”、“１００＋１”，都不是一件易事，更不是做到了就能达到“后无来者”的。这就需要：不仅要干，还要持续不断地干。否则，名不会徒生，誉也不会自长。
